суббота, 23 октября 2010 г.

Парадокс двух конвертов и среднее матожидание

В случае двух конвертов мы имеем факт реализации первого выбора игрока, условные вероятности [удачного/неудачного обмена] по исходам которого нам изначально известны ([0 и 1] или [1 и 0]), но не известно, какая из пар "вступила" в свои права.
Мы можем найти вероятность удачного/неудачного обмена по формуле полной вероятности
1*1/2 + 0*1/2 = 1/2
Это как раз та самая 1/2 из парадоксального рассуждения. Это именно полная вероятность удачного обмена, а не фифти/фифти блондинки из анекдота. Однако, использование этой полной вероятности при вычислении мат. ожидания выигрыша и приводит к противоречию.
Для того, чтобы понять причину происходящего, необходимо, прежде всего, разобраться в проблеме уровней детализации возможности события.
Полная вероятность события - это вероятность более грубого (и, соответственно, более усреднённого) уровня детализации, нежели уровень любых условных вероятностей. А в данном случае именно на конкретном уровне условных вероятностей мы имеем очевидную информационную связь между вероятностями и размером суммы (бОльшие суммы мы успешно обмениваем с вероятностью ноль, меньшие - с вероятностью единица).
Именно эта взаимозависимость сомножителей из формулы мат. ожидания и приводит к ошибке при использовании при вычислениях полной вероятности.
Итак, в данном случае мы не можем строго вычислить мат. ожидание, зная лишь полную вероятность удачного обмена. Но ничто не мешает нам определить среднее матожидание на уровне условных вероятностей для всей выборки усреднения условных вероятносте доходности обмена при вычислении полных вероятностей.
Причём правильнее вычислять среднее мат. ожидание прибыльности обмена, сразу закладывая в рассчёты и цену игры, то есть ту сумму из первого конверта, от которой игрок вынужден отказываться ради возможности забрать сумму из другого конверта.
Вероятность 1/2 получить при обмене 1/2*X выводится с помощью формулы полной вероятности так:
p(1/2*X) = 0*1/2 + 1*1/2 ,
где 0 и 1 - условные вероятности по двум результатам первого выбора игрока в розыгрыше с парой сумм [1/2*X;X] . Вероятность 1/2 получить при обмене 2X соответственно так же:
p(2X) = 0*1/2 + 1*1/2 ,
где 0 и 1 - условные вероятности по двум результатам первого выбора игрока в розыгрыше с парой сумм [X;2X] .
И поскольку, как мы увидели,  при наличии суммы X в одном из конвертов полные вероятности 1/2 и 1/2 обмена её на 1/2*X и 2X являются усреднениями четырёх условных вероятностей из двух возможных игр с парами сумм [1/2*X;X] и [X;2X] и, соответственно, четырёх ситуаций "после первого выбора", мы должны вычислить все четыре условные мат. ожидания прибыльности обмена.
МО1 = 1* (X - 1/2*X)
МО2 = 1* (1/2*X - X)
МО3 = 1* (X - 2X)
МО4 = 1* (2X - X)
После этого вычислим среднее мат. ожидание прибыльности обмена для всей выборки усреднения условных вероятностей при получении полной вероятности:
МО[1-4] = [(X - 1/2*X) + (1/2*X - X) + (X - 2X) + (2X - X)]/4 = 0
Итак, среднее матожидание прибыльности обмена на выборке усреднения условных вероятностей равно нулю, что вполне соответствует интуитивным выводам из симметрии рассматриваемой ситуации.
Следует также отметить, что использование при вычислении мат. ожидания [доходности обмена условной вероятности] по размеру суммы (по конкретному X) также является работой с элементами более грубого уровня детализации по сравнению с уровнем условных вероятностей по итогам первого выбора и, соответственно, также способно приводить к противоречиям (см. Хитрые конверты).

Комментариев нет:

Отправить комментарий