среда, 12 января 2011 г.

Снова задача о двух конвертах


Уже вынесен окончательный Вердикт по "двум конвертам"


Или старые идеи в новом изложении ))).

Разгадка парадокса кроется в различении вероятностей разных типов, известных ещё со времён Лапласа (то есть с конца XVIII столетия) – с одной стороны, и в осознании необходимости ограничений (для определённых условий) на использование определённых типов вероятностей при вычислении математического ожидания – с другой.

Первая половина условия задачи сформулирована в терминах классической интерпретации. Утверждение об априорной равновероятности выбора бОльшей и мЕньшей сумм базируется строго на симметрии конвертов.

Во втором рассуждении (о выгодности обмена открытого конверта на закрытый) шансы ½ & ½ на прибыль и убыль с классическими (априорными) вероятностями уже не имеют ничего общего. Шансы эти тоже обоснованы. Но обоснованы уже по-новому.

О симметрии конвертов, один из которых уже выбран и деньги в котором уже пересчитаны, говорить явно не приходится. При этом реализованы как минимум два условия, для которых существуют новые, условные вероятности выигрышного и проигрышного обменов. Это условная вероятность по итогам первого выбора и условная вероятность по конкретному размеру суммы. Обе они неизвестны игроку, но теперь уже любая другая полученная игроком вероятность является той или иной формой усреднения первой из них. Не важно, было ли при этом усреднение статистическим («Ведь всё равно из 100 обменов открытого конверта лишь 50 окажутся удачными!») или теоретическим (например, с использованием формулы полной вероятности).


Условные вероятности успешности обмена и его полная вероятность


Для понимания сути парадокса упомянутые условные и усреднённые вероятности следует рассмотреть подробнее.

Наибольшее внимание иногда уделяется условной вероятности по размеру суммы (вариант А), которая является пропорцией общего числа появления данной конкретной суммы в конвертах и количества тех случаев, когда эта сумма является большей (или меньшей). Однако правильнее начать с другой, несоизмеримо более точной условной вероятности.

В отличие от вероятностей по размерам сумм, которые зависят от неизвестного игроку закона распределения денег по конвертам, варианты значений вероятностей успешного обмена по итогам первого выбора заранее известны. И их всего два: если первоначальный выбор является неудачным, замена будет выгодной с вероятностью единица (100%) и невыгодной с вероятностью ноль (0%). И наоборот. Знание конкретной реализации этих вариантов означает 100%-ную информацию о состоянии дел. Но именно это знание по условию задачи недостижимо. Однако полнота определённости, которую внесли бы конкретные значения данной вероятности, будь такое знание возможно, делает её краеугольным камнем любых вычислений.

Усреднением этих условных вероятностей является даже условная вероятность по размеру суммы. Связано это с объективно существующей иерархией вероятностей. Любая условная вероятность адекватна только на том временном интервале, на котором выполнено соответствующее условие. Если же интервалы выполнения различных условий пересекаются (то есть если эти условия не несовместны), вслед за их взаимоналожением возникает и взаимоподчинение условных вероятностей. В случае двух конвертов иерархия условных вероятностей довольно проста: интервал реализации любого конкретного значения суммы непременно содержит в себе целое число интервалов реализации конкретного исхода первоначального выбора игрока. то есть условная вероятность по размеру суммы выводится из условной вероятности по итогам первоначального выбора при помощи формулы полной вероятности.

Так же и от ½ & ½ (используемых в парадоксальном рассуждении о выгодности обмена открытого конверта) просто отмахнуться, объявив «неправильными», не позволяет именно возможность их строго теоретического вывода по формуле полной вероятности из условной вероятности по итогам первого решения игрока.


Вывод полной вероятности успешного обмена


Для ясности развернём этот вывод подробнее.

Поскольку первый выбор успешен с вероятностью ½ (а о вариантах условных вероятностей выше уже сказано) полная вероятность удачной замены открытого конверта приобретает вид:

P = ½ * 1 + ½ * 0 = ½

Аналогично и с полной вероятностью неудачной замены.

Всё совершенно корректно. И с точки зрения теории вероятностей полная вероятность так же надёжна, как и более точная, но и более «сиюминутная» условная. Просто дольше приходится ждать схождения практического результата с теоретически предсказанным.


Иерархия вероятностей и математическое ожидание


Зная условную вероятность по итогам первого выбора, игрок может выиграть сразу. Но согласно ТВ, даже и не зная последней, но ориентируясь при вычислениях мат. ожидания на полную вероятность, он также должен выиграть. Пусть позже, пусть по итогам нескольких (или даже многих) испытаний, но должен обязательно, даже в случае двух конвертов.

Однако должен, но не может. В силу одного НО: условные вероятности, усредняемые по формуле полной вероятности, связаны обратным законом с суммами вознаграждений.

Действительно, в полном соответствии с теорией, каждый второй обмен (в среднем) будет выгодным. Но суммы, которые будут удваиваться в этих случаях (в среднем) окажутся в два раза меньшими, чем суммы, которые в остальных случаях будут вдвое уменьшаться. В идеале эту закономерность следовало бы отразить соответствующими повышающими и понижающими коэффициентами, но в общем виде теория вероятностей пока не предполагает соответствующих модификаций формулы математического ожидания.

Итог: при получении математического ожидания выигрыша с учётом конкретной суммы (без существенной модернизации алгоритма вычислений) корректным будет использование лишь той вероятности выгодного обмена, которая не является усреднением условной вероятности по итогам первого выбора, связанной обратным законом с размером удваивающейся суммы. Ни полная вероятность, ни даже условная вероятность по конкретному размеру суммы таковыми не являются и в равной степени приводят к парадоксу (см. Хитрые конверты).