вторник, 29 марта 2011 г.

Строгое топологическое опровержение "биекции" чётных и натуральных

В рамках натурального ряда отношения предыдущее-последующее можно смело интерпретировать как отношение смежности. Можно также принять открытым любой интервал типа [0, n] (если кому-то так привычнее). И в том, и в другом случае натуральный ряд окажется одномерным связным целым N.
Рассмотрим теперь объединения пар типа (n, 2n), или тела семейств этих пар с точки зрения их топологических свойств в N. Какое бы семейство от первой пары до i-той мы ни взяли, определённо можно утверждать, что его тело P несвязно. Для доказательства последнего достаточно рассмотреть чётный элемент i-той (последней) пары семейства, который явно ещё не имеет смежного элемента в P : ни элемент 2i-1, ни элемент 2i+1 в P не входят. И никакое, даже бесконечное добавление новых пар по данному алгоритму "биекции" ситуации не изменит - P всегда будет оставаться несвязным.
Между тем тело семейства всех пар полной биекции чётных и натуральных очевидно должно было бы быть связным (весь натуральный ряд). Таким образом, используя общеизвестный алгоритм нумерации элементов подмножества чётных чисел, требуемого взаимно-однозначного соответствия мы никогда не достигнем!
Данное доказательство лишний раз указывает на то, что вряд ли можно считать корректным рассмотрение бесконечного множества, и тем более - бесконечного подмножества в отрыве от операции его построения и от того порядка на множестве, который эта процедура использует. Так и подмножество всех чётных, будучи вырвано из естественного порядка натурального ряда, по сути просто превращается из подмножества в тот же самый натуральный ряд, что и даёт возможность для ошибочных построений. 

суббота, 26 марта 2011 г.

Об одном изъяне канторовской биекции


Хотелось бы упомянуть и ещё одно выяснившееся в прошлых обсуждениях [1] [2] [3] любопытное обстоятельство.
При всех «парадоксальных» Канторовских биекциях между множествами и их подмножествами имеет место некоторый не очень заметный, но неизбежный процесс: дистанция (разность) между элементами составляемых пар сама неумолимо стремится в бесконечность. Рассмотрим, например, такое простое «биективное» отображение, как сопоставление всех натуральных чисел и всех чётных.
1 – 2 (1)
2 – 4 (2)
3 – 6 (3)
4 – 8 (4)

В скобках мы записали разности между элементами пар.
Отсюда очевидно, что на каком бы этапе построения нашей «биекции» мы бы ни остановились, последний образ (чётное число) всегда будет извлечён из значительно более удалённой области натурального ряда, чем прообраз (натуральное). Не напоминает ли это бесконечное откладывание признания факта несопоставимости множества и подмножества в некий трансфинитный долгий ящик?
А ведь при этом существует интуитивно вполне приемлемое отображение каждого чётного числа на двойку натуральных чисел, элементы пар которого не разбегаются по бесконечности как тараканы по грязному столу:
{0;1} – 0 
{2;3} – 2 
{4;5} – 4 
{6;7} – 6 

На каком этапе построения нашей биекции мы бы ни остановились, весь интервал, пройденный аргументом (прообразом, чётным элементом) будет строго эквивалентен интервалу, пройденному значением (образом, натуральными двойками). Сказанное справедливо и для любого произвольного интервала из «середины» упорядоченного натурального ряда.
Неужели крайне существенная разница не очевидна???
Здесь, правда, возможно одно возражение: а причём тут вообще натуральный (естественный) порядок? Ведь мы сопоставляем только элементы, а не их взаиморасположение при той или иной форме упорядоченности. Но стоит вспомнить о том, что не только строить биекции бесконечных множеств без той или иной формы упорядочения, но даже и выделять бесконечные подмножества из бесконечного множества без конкретной упорядоченности невозможно, и возражение это сразу снимается.
Для любого бесконечного подмножества обязательно существует та форма упорядоченности материнского множества, единственно посредством которой оно (это подмножество) и было выделено из множества. То есть та или иная единственная форма порядка материнского множества всегда первична по отношению к бесконечному подмножеству. Для подмножества всех чётных чисел это натуральный (естественный) порядок натурального ряда. И эксклюзивно-корректные отношения нашего отображения «чётное – двойка натуральных» с этим естественным порядком натурального ряда ставят наше отображение в исключительную позицию (по сравнению со всевозможными «биекциями»).
А поскольку наше особенное отображение – не биекция, а отображение «один в два», то и о соответствующих кардиналах (мощностях) можно было бы сказать, что их отношение всё-таки составляет 1 : 2
Заметим, что два бесконечных множества подобным же образом сопоставлены быть не могут. Но если они когда-либо кем-либо были выделены посредством той или иной формы упорядоченности как два подмножества некоего общего для обоих материнского множества, то почему бы и нет?

воскресенье, 20 марта 2011 г.

Насколько незыблема теория множеств?

Насколько мне известно, Кантор использовал свой диагональный процесс при доказательстве теоремы о неравенстве мощностей множества X и множества всех отображений множества X на множество Y (содержащее не менее двух элементов) [П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука,1977,С.30-31]. И ничто в этой теореме не претит моей интуиции. Но распространённое "диагональное" и "изящное" доказательство несчётности действительных чисел [В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. М., Проспект, 2006. , Т. 1., С.74] продолжает возмущать мой неокрепший разум. Вообще говоря, у меня нет никаких оснований верить тому, что доказательство это принадлежит самому Кантору. В этом случае интересно, откуда оно вообще взялось?
Предыдущие два обсуждения [1] [2] помогли обнаружить существенное различие между упомянутыми двумя, внешне и впрямь очень похожими доказательствами.
В отличие от доказательства для действительных чисел, в Канторовском доказательстве от противного теоремы об отображениях нет посылки актуальной отображённости одного бесконечного множества на другое. Его доказательство начинается так:
Предположим, что такое соответствие существует...
И далее следует выяснение необходимых для данного случая атрибутов классического алгоритма биекции между двумя бесконечными множествами, который можно было бы выполнять сколь угодно долго и который был бы явно не ограничен ни в одном из двух множеств каким-либо более "узким" подмножеством. И именно невозможность построения такого алгоритма при заданных условиях далее доказывается при помощи диагонального
процесса! Заметим, что данное доказательство работает и для случая конечных множеств.
А в обсуждавшемся ранее доказательстве опровергается, по сути, не возможность построения алгоритма биекции, а лишь (именно) возможность актуальной данности, завершённости биективного сопоставления двух множеств (натуральных и действительных чисел).
Существуют, безусловно, и другие, более основательные доказательства несчётности континуума. О них здесь речь не идёт. Но есть основания предположить, что данная подмена (неявное перемешивание конструктивного и актуального), вообще говоря, является типичной для нынешнего уровня развития теории множеств. Даже сам логический переход от возможности построения не ограниченного подмножествами алгоритма составления пар (конструктивная процедура) к актуальной эквивалентности (трактуемой даже как количественная эквивалентность!!!) двух бесконечных множеств (и даже множества и его подмножества!!!) - не что иное, как пример такой же подмены. И автор такой подмены - уже именно Георг Кантор, собственной персоной.

понедельник, 14 марта 2011 г.

Доказательство несчётности натурального ряда :)

Чтобы прочувствовать всё обаяние Канторовского диагонального процесса, предлагаю рассмотреть доказательство несчётности натурального ряда, построенное по аналогии с растирражированным разными учебниками доказательством несчётности континуума:
Пусть все натуральные числа уже перенумерованы, причём десятичная запись любого из них кончается бесконечной чередой пробелов (тоесть пробел - ещё одна цифра). Теперь построим натуральное число D, которое мы не пронумеровали. Для этого выберем первую цифру, не совпадающую с первой цифрой первого числа, вторую - несовпадающую со второй цифрой второго числа, третью - не совпадающую с третьей цифрой третьего и т.п. Вместо пробела смело будем ставить любую "содержательную" цифру. Очевидно, что числа, которое мы запишем, нет в нашем списке. Значит натуральные числа не могли быть перенумерованы. Значит - их несчётно много!!!)))))
Это шуточное доказательство оказалось бы вовсе не смешным, если бы "число D", получаемое в результате нашего построения, не имело бы бесконечной записи, тоесть действительно являлось бы числом. Хотя, трудно представить себе, как факт наличия актуально перенумированного "списка" бесконечности натуральных чисел согласуется с отсутствием в этом списке хотябы одного подобного числа с бесконечной разрядностью (ведь все разряды, которые есть в списке, содержатся с первого и до... хотябы в одном числе). Но, судя по всему - да, безупречных аргументов на этом направлении нет. Бесконечность нашей записи слишком весома.
Однако эта шуточная пародия позволяет прочувствовать одну специфическую особенность приложения диагонального процесса Кантора к множествам чисел в их десятичной, и даже двоичной записит (насколько я понимаю, сам Кантор свой процесс применял лишь в доказательстве большей мощности множества всех отображений X на Y относительно мощности множества X).
Хоть процесс и называется диагональным, "точка несоответствия" (или разряд несоответствия) строящегося числа с другими числами убегает в бесконечность гораздо быстрее, чем растёт номер "отсекаемого" диагональным алгоритмом числа. Номера растут линейно, а "удалённость" несоответствия - геометрически (10 в степени N для десятичной записи). И только "соизмеримость" бесконечностей позволяет этому оптическому обману не выглядеть миражом. Подобным образом бессмертные боги могут все неразрешимые проблемы откладывать "на
последний день" - ведь для них последний день никогда не наступит. Однако, это уже (или пока ещё) - не математика :).
Но предлагаю "разгромить" и ещё одну попытку аналогии. Кантор, как известно, перенумеровал все рациональные числа при помощи суммирования числителя и знаменателя. И тут его вполне удовлетворил конструктивный алгоритм "заметания" рациональной бесконечности. Давайте поищем подвох в аналогичном алгоритме для бесконечных десятичных дробей интервала (0;1).
Возьмём сначала наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна единице. Это, разумеется, 0,10000... Потом следующую поменьше: 0,01000... Потом следующую... И т.д. Получим счётное множество.
Теперь возьмём наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна двум. Это 0,20000... Потом 0,11000..., потом 0,02000..., потом 0,0110000... И т.д. Получим второе счётное множество. Потом построим третье счётное множество {0,3000...; 0,21000...; 0,111000...; 0,03000... и т.д.} И так до счётной бесконечности.
На выходе имеем счётное множество счётных множеств. А их объединение, как известно, счётно!

пятница, 18 февраля 2011 г.

Вердикт по "двум конвертам"


Как выяснилось, парадоксальное рассуждение в двух конвертах не различает два похожих события: событие «удвоение суммы» и событие «во втором конверте конкретная сумма 2x». Отсюда и вся неразбериха.

Итак, рассуждения о корнях «парадокса двух конвертов» подошли к логическому концу. В результате не вскрылось, конечно же, никаких фатальных брешей в любимой всеми теории вероятностей :), но на серьёзную прореху в её «интерпретационной» части, всё-таки, указание было. Состоит она в следующем.
На формальном теоретико-множественном языке сигма-алгебра событий описывается вполне адекватно. А вот понятийный аппарат для содержательного описания отношений между элементами этой алгебры за семьдесят с лишним лет существования ТВ-аксиоматики так и не сформировался. И в результате - теория оказалась неприспособленной не только к «раскалыванию» парадоксов, но даже и к адекватному изложению уже найденных решений.
И действительно, без какой бы то ни было дополнительной конкретизации, формулировка: "Не различает два похожих события: событие «удвоение суммы» и событие «во втором конверте конкретная сумма 2x»", - выглядит довольно непонятным. Сразу встают вопросы: "А что значит «не различает»?" или "Что значит «похожие» (но не совсем)?" По-хорошему, для того, чтобы ответить на них исчерпывающе, надо было бы пересказать все основания теоретико-множественной ТВ с подробными параллельными комментариями. Но пока ограничимся всего лишь несколькими замечаниями.
Сигма-алгебра событий на множестве всех возможных элементарных исходов – это всяческие подмножества («события») исходного множества, плюс их объединения, пересечения, объединения пересечений, пересечения объединений и т.д. и т.п. В подмножества-события элементарные исходы на практике группируются, естественно, не абы как, а по наличию у них некоторых существенных признаков, например – по наличию выпавшего орла или чётной цифры на игральной кости. Подмножество-событие «чётная цифра» при бросании игральной кости само, кстати, является объединением более частных подмножеств-событий «двойка», «четвёрка» и «шестёрка». Эти же подмножества-события входят и в события типа «выпала не единица» или «выпала не тройка».
Каждое из этих подмножеств-событий характеризуется своими априорными, условными и полными вероятностями, независимо от того, известны нам все эти вероятности, или нет.
И именно эти подмножества-события пребывают друг с другом в определённых отношениях, в том числе и влияющих и на «алгебру вероятностей». Во-первых – они могут совпадать (если состоят из одних и тех же элементов). Во-вторых – они могут быть несовместны (если не содержат ни одного общего элемента). В-третьих – одно подмножество-событие может полностью содержать в себя другое. В-четвёртых – подмножества-события могут пересекаться. И т. д.
Так в чём же сложность описания этих отношений на неформальном, содержательном языке? Сложность эта – сестра-близнец затруднений, возникающих при первой попытке неискушённого ума соотнести категории объёма и содержания понятия. Помните? Чем больше объём, тем меньше содержание, чем больше содержание, тем меньше объём? И если объём одного понятия включает в себя объём второго, то содержание этого первого понятия в содержание второго само уже «входит». И так по кругу.
Так же и для подмножеств-событий: если как подмножество первое событие содержит в себе второе, то, как содержательное явление (которое мы наблюдаем, обозначаем и осознаём именно как событие, а не как множество), первое событие во втором уже имеется на правах признака. Содержательно, событие «выпала шестёрка» содержит в себе как признаки и выпавшее чётное, и «выпала не единица», и «выпала не пятёрка». Но при этом, как подмножества пространства элементарных исходов из аксиоматической теории вероятностей, все позднее перечисленные события-подмножества по-прежнему выпавшую шестёрку «содержат».
Результат – чтобы дальше не кувыркаться в описанной паутине не слишком пытливый ум вообще перестаёт как-либо подобные отношения описывать словами. А до формальных записей, как правило, уже и не доходит.
Чтобы преодолеть эту трудность, сейчас же по-быстрому условимся обозначать отношение события-подмножества, содержащего другое событие-подмножество, как отношение более абстрактного события к событию более конкретному. Всем очевидно, что событие «выпало чётное» - более абстрактно, чем событие «выпала четвёрка». И последнее – более абстрактно по отношению к конкретному элементарному исходу конкретного броска (одного из многих), при котором выпало «четыре». И сразу же обратим своё внимание снова к конвертам.
Вполне очевидно, что абстрактное событие «удвоение суммы» как подмножество содержит в себе множество более конкретных событий-подмножеств «удвоение суммы x1», «удвоение суммы x2», «удвоение суммы x3» и т.д. Как «содержательное» событие оно принадлежит всем последним на правах признака (и при «удвоение суммы x1», и при «удвоение суммы x2» - всё равно «сумма удваивается»). Но даже при таких тесных отношениях некоторые вероятности, характеризующие эти события, в корне различаются.
Совершенно правы те, кто настаивает на неправомерности утверждения о том, что с открытием одного из конвертов «вероятности изменились». Сами вероятности не могут меняться от того, что мы что-то узнали. Меняется только наша осведомлённость. И как была вероятность ½ полной вероятностью события «удвоение суммы», так она таковой и осталась. Но можно ли её использовать при вычислении мат. ожидания с учётом конкретного значения суммы 2xi , если к самому событию «удвоение суммы xi» эта вероятность не имеет никакого отношения? Ведь вычисление математического ожидания – это взвешенное усреднение значений случайной величины X, при котором «взвешивание» осуществляется путём умножения каждого её конкретного значения на его же собственную вероятность. А не на вероятность какого-либо более абстрактного события.
Конкретное событие - «удвоение суммы xi» - входит, правда, и в более абстрактное - «во втором конверте 2xi» (включающее в себя и второе конкретное событие – «уменьшение вдвое суммы 4xi»). Полная вероятность этого события («во втором конверте 2xi») вполне может использоваться при вычислениях мат. ожиданий с учётом конкретного значения суммы xi . Но эта полная вероятность более абстрактного события тоже не имеет уже ничего общего с полной вероятностью абстрактного события «удвоение суммы». Причём эти два абстрактных события уже даже не содержат одно другое, они просто пересекаются в тех случаях, когда сумма 2xi оказывается во втором конверте в результате «удвоения».
Вот, собственно, и вся «прореха» :).

среда, 12 января 2011 г.

Снова задача о двух конвертах


Уже вынесен окончательный Вердикт по "двум конвертам"


Или старые идеи в новом изложении ))).

Разгадка парадокса кроется в различении вероятностей разных типов, известных ещё со времён Лапласа (то есть с конца XVIII столетия) – с одной стороны, и в осознании необходимости ограничений (для определённых условий) на использование определённых типов вероятностей при вычислении математического ожидания – с другой.

Первая половина условия задачи сформулирована в терминах классической интерпретации. Утверждение об априорной равновероятности выбора бОльшей и мЕньшей сумм базируется строго на симметрии конвертов.

Во втором рассуждении (о выгодности обмена открытого конверта на закрытый) шансы ½ & ½ на прибыль и убыль с классическими (априорными) вероятностями уже не имеют ничего общего. Шансы эти тоже обоснованы. Но обоснованы уже по-новому.

О симметрии конвертов, один из которых уже выбран и деньги в котором уже пересчитаны, говорить явно не приходится. При этом реализованы как минимум два условия, для которых существуют новые, условные вероятности выигрышного и проигрышного обменов. Это условная вероятность по итогам первого выбора и условная вероятность по конкретному размеру суммы. Обе они неизвестны игроку, но теперь уже любая другая полученная игроком вероятность является той или иной формой усреднения первой из них. Не важно, было ли при этом усреднение статистическим («Ведь всё равно из 100 обменов открытого конверта лишь 50 окажутся удачными!») или теоретическим (например, с использованием формулы полной вероятности).


Условные вероятности успешности обмена и его полная вероятность


Для понимания сути парадокса упомянутые условные и усреднённые вероятности следует рассмотреть подробнее.

Наибольшее внимание иногда уделяется условной вероятности по размеру суммы (вариант А), которая является пропорцией общего числа появления данной конкретной суммы в конвертах и количества тех случаев, когда эта сумма является большей (или меньшей). Однако правильнее начать с другой, несоизмеримо более точной условной вероятности.

В отличие от вероятностей по размерам сумм, которые зависят от неизвестного игроку закона распределения денег по конвертам, варианты значений вероятностей успешного обмена по итогам первого выбора заранее известны. И их всего два: если первоначальный выбор является неудачным, замена будет выгодной с вероятностью единица (100%) и невыгодной с вероятностью ноль (0%). И наоборот. Знание конкретной реализации этих вариантов означает 100%-ную информацию о состоянии дел. Но именно это знание по условию задачи недостижимо. Однако полнота определённости, которую внесли бы конкретные значения данной вероятности, будь такое знание возможно, делает её краеугольным камнем любых вычислений.

Усреднением этих условных вероятностей является даже условная вероятность по размеру суммы. Связано это с объективно существующей иерархией вероятностей. Любая условная вероятность адекватна только на том временном интервале, на котором выполнено соответствующее условие. Если же интервалы выполнения различных условий пересекаются (то есть если эти условия не несовместны), вслед за их взаимоналожением возникает и взаимоподчинение условных вероятностей. В случае двух конвертов иерархия условных вероятностей довольно проста: интервал реализации любого конкретного значения суммы непременно содержит в себе целое число интервалов реализации конкретного исхода первоначального выбора игрока. то есть условная вероятность по размеру суммы выводится из условной вероятности по итогам первоначального выбора при помощи формулы полной вероятности.

Так же и от ½ & ½ (используемых в парадоксальном рассуждении о выгодности обмена открытого конверта) просто отмахнуться, объявив «неправильными», не позволяет именно возможность их строго теоретического вывода по формуле полной вероятности из условной вероятности по итогам первого решения игрока.


Вывод полной вероятности успешного обмена


Для ясности развернём этот вывод подробнее.

Поскольку первый выбор успешен с вероятностью ½ (а о вариантах условных вероятностей выше уже сказано) полная вероятность удачной замены открытого конверта приобретает вид:

P = ½ * 1 + ½ * 0 = ½

Аналогично и с полной вероятностью неудачной замены.

Всё совершенно корректно. И с точки зрения теории вероятностей полная вероятность так же надёжна, как и более точная, но и более «сиюминутная» условная. Просто дольше приходится ждать схождения практического результата с теоретически предсказанным.


Иерархия вероятностей и математическое ожидание


Зная условную вероятность по итогам первого выбора, игрок может выиграть сразу. Но согласно ТВ, даже и не зная последней, но ориентируясь при вычислениях мат. ожидания на полную вероятность, он также должен выиграть. Пусть позже, пусть по итогам нескольких (или даже многих) испытаний, но должен обязательно, даже в случае двух конвертов.

Однако должен, но не может. В силу одного НО: условные вероятности, усредняемые по формуле полной вероятности, связаны обратным законом с суммами вознаграждений.

Действительно, в полном соответствии с теорией, каждый второй обмен (в среднем) будет выгодным. Но суммы, которые будут удваиваться в этих случаях (в среднем) окажутся в два раза меньшими, чем суммы, которые в остальных случаях будут вдвое уменьшаться. В идеале эту закономерность следовало бы отразить соответствующими повышающими и понижающими коэффициентами, но в общем виде теория вероятностей пока не предполагает соответствующих модификаций формулы математического ожидания.

Итог: при получении математического ожидания выигрыша с учётом конкретной суммы (без существенной модернизации алгоритма вычислений) корректным будет использование лишь той вероятности выгодного обмена, которая не является усреднением условной вероятности по итогам первого выбора, связанной обратным законом с размером удваивающейся суммы. Ни полная вероятность, ни даже условная вероятность по конкретному размеру суммы таковыми не являются и в равной степени приводят к парадоксу (см. Хитрые конверты).

пятница, 3 декабря 2010 г.

Объективность информации, синкретический мир и дискретные модели

Разговор о возможности объективного существования информации, как Шенноновского измеримого отношения между объективными явлениями, даже успешно преодолев «зоны риска», связанные с многозначностью терминов и логическими «ямами», неизбежно упирается в весьма обоснованный тезис о единстве мира. Этот тезис [очень серьёзное философское утверждение о всеобщей взаимосвязи, о тотальной взаимозависимости любой части мира с любой другой] определённо ставит под сомнение саму идею вычленения и количественного сравнения таких связей. И действительно: если любые две взаимосвязанные части мира бесконечно сложны, а, следовательно, и расчленимы на бесконечное число взаимосвязанных частей, то о каком конечном количестве связи между этими частями может идти речь? Сравнивать же бесконечности – занятие сугубо неблагодарное.
Философия, таким образом, отрицает самый фундамент математической теории связи, отвергая её «краегольный камень» - элементарную связь двух элементарных явлений.
Вообще, традиция построения формализованных объектов (в том числе и каналов связи Шеннона) из «элементарных» кирпичиков, издревле укоренившаяся в математике, также издревле мешала содержательной интерпретации возводимых ею  моделей синкретического мира (мира, в котором всё со всем тотально взаимосвязано). В геометрии таким кирпичиком всегда являлась точка, в теории множеств – элемент множества, в теории вероятностей – единичное событие, имеющее свою априорную вероятность и т.п. Даже число, самый, казалось бы, «неэлементарный» инструмент построения любых математических конструкций, некоторые авторы не раз пытались свести к совокупности единиц, «приписанных друг к другу справа» J – всё тех же элементарных кирпичиков.
При том, что вычленение из синкретического мира любых элементов, а также любого обособленного отношения между этими элементами – главный и наиболее смыслообразующий акт субъекта-наблюдателя (включающий в себя и общеизвестное насилие над этим миром), математика пока имеет возможность «появляться» лишь там, где вся метанаучная подготовительная работа уже давно закончена…  Иными словами - большая часть содержательно-интерпретационных усилий оказывается за кадром собственно математического рассуждения.
В нашем случае с информацией такой подход неизбежно приводит к особым противоречиям. Для классического определения Шенноновской связи нам необходимы простые элементы: обособленные явления, дискретные состояния обособленных явлений, вероятности и условные вероятности этих состояний. Но само вычленение этих «элементов», как мы уже отмечали, с одной стороны - продукт некой целенаправленной уже информационной деятельности мыслящего субъекта, с другой – до-математический, мета-научный акт, вступающий в конфликт и с философией, и с логикой, поскольку информация при таком подходе определяется «через самоё себя». Что являет собой безусловно что-то порочное...
Единственным выходом из логического тупика видится применение «синкретических» формализмов, строящихся не в процессе «восходящего» склеивания элементарных кирпичиков, а в процессе «нисходящего» последовательного рассечения единого целого - не вплоть до… а от… первого сечения единого взаимосвязанного мира… до необходимого уровня детализации. На сегодняшний день имеется вполне работоспособный пример такого синкретического формализма – понятийный аппарат синкретической топологии, вполне адекватно описывающей большинство общеизвестных топологических инвариант. При желании на его базе вполне построимо и определение числа (уж всяко ничем не хуже «единиц слева-на-право»), и определение множества, и определение отображения, а вслед за ними – и всех остальных базовых понятий математики. Ничего в самой математике, по сути, не меняя J.
При построении синкретического формализма теории информации объективно существующую связь любой части мира с любой другой действительно можно предполагать как исчерпывающую и бесконечно ёмкую, а, следовательно, - и тождественную любой другой связи между любыми другими частями. Но эти объективные связи, очевидно, будут иметь склонность к принципиальной НЕОДНОРОДНОСТИ на некоторых фиксированных уровнях детализации мира  при определённых фиксированных законах отображения. При некоторых уровнях детализации и законах отображения (из числа доступных наблюдателю), связи эти будут проявлены более или менее СИЛЬНО. В первом приближении именно ПРОЯВЛЕННОСТЬ объективных связей при определённом уровне детализации и определённом законе отображения и будет характеризоваться Шенноновским количеством взаимной информации в соответствующем «канале связи».
И тогда на первый план выйдут вопросы выбора самих сечений мира, самих правил отображения, самих причин возникновения именно существующих границ между искусственно разведёнными частями единой реальности. А это уже очень похоже на вопрос о причинах и закономерностях возникновения понятий.