Как выяснилось, парадоксальное рассуждение в двух конвертах не различает два похожих события: событие «удвоение суммы» и событие «во втором конверте конкретная сумма 2x». Отсюда и вся неразбериха.
Итак, рассуждения о корнях «парадокса двух конвертов» подошли к логическому концу. В результате не вскрылось, конечно же, никаких фатальных брешей в любимой всеми теории вероятностей :), но на серьёзную прореху в её «интерпретационной» части, всё-таки, указание было. Состоит она в следующем.
На формальном теоретико-множественном языке сигма-алгебра событий описывается вполне адекватно. А вот понятийный аппарат для содержательного описания отношений между элементами этой алгебры за семьдесят с лишним лет существования ТВ-аксиоматики так и не сформировался. И в результате - теория оказалась неприспособленной не только к «раскалыванию» парадоксов, но даже и к адекватному изложению уже найденных решений.
И действительно, без какой бы то ни было дополнительной конкретизации, формулировка: "Не различает два похожих события: событие «удвоение суммы» и событие «во втором конверте конкретная сумма 2x»", - выглядит довольно непонятным. Сразу встают вопросы: "А что значит «не различает»?" или "Что значит «похожие» (но не совсем)?" По-хорошему, для того, чтобы ответить на них исчерпывающе, надо было бы пересказать все основания теоретико-множественной ТВ с подробными параллельными комментариями. Но пока ограничимся всего лишь несколькими замечаниями.
Сигма-алгебра событий на множестве всех возможных элементарных исходов – это всяческие подмножества («события») исходного множества, плюс их объединения, пересечения, объединения пересечений, пересечения объединений и т.д. и т.п. В подмножества-события элементарные исходы на практике группируются, естественно, не абы как, а по наличию у них некоторых существенных признаков, например – по наличию выпавшего орла или чётной цифры на игральной кости. Подмножество-событие «чётная цифра» при бросании игральной кости само, кстати, является объединением более частных подмножеств-событий «двойка», «четвёрка» и «шестёрка». Эти же подмножества-события входят и в события типа «выпала не единица» или «выпала не тройка».
Каждое из этих подмножеств-событий характеризуется своими априорными, условными и полными вероятностями, независимо от того, известны нам все эти вероятности, или нет.
И именно эти подмножества-события пребывают друг с другом в определённых отношениях, в том числе и влияющих и на «алгебру вероятностей». Во-первых – они могут совпадать (если состоят из одних и тех же элементов). Во-вторых – они могут быть несовместны (если не содержат ни одного общего элемента). В-третьих – одно подмножество-событие может полностью содержать в себя другое. В-четвёртых – подмножества-события могут пересекаться. И т. д.
Так в чём же сложность описания этих отношений на неформальном, содержательном языке? Сложность эта – сестра-близнец затруднений, возникающих при первой попытке неискушённого ума соотнести категории объёма и содержания понятия. Помните? Чем больше объём, тем меньше содержание, чем больше содержание, тем меньше объём? И если объём одного понятия включает в себя объём второго, то содержание этого первого понятия в содержание второго само уже «входит». И так по кругу.
Так же и для подмножеств-событий: если как подмножество первое событие содержит в себе второе, то, как содержательное явление (которое мы наблюдаем, обозначаем и осознаём именно как событие, а не как множество), первое событие во втором уже имеется на правах признака. Содержательно, событие «выпала шестёрка» содержит в себе как признаки и выпавшее чётное, и «выпала не единица», и «выпала не пятёрка». Но при этом, как подмножества пространства элементарных исходов из аксиоматической теории вероятностей, все позднее перечисленные события-подмножества по-прежнему выпавшую шестёрку «содержат».
Результат – чтобы дальше не кувыркаться в описанной паутине не слишком пытливый ум вообще перестаёт как-либо подобные отношения описывать словами. А до формальных записей, как правило, уже и не доходит.
Чтобы преодолеть эту трудность, сейчас же по-быстрому условимся обозначать отношение события-подмножества, содержащего другое событие-подмножество, как отношение более абстрактного события к событию более конкретному. Всем очевидно, что событие «выпало чётное» - более абстрактно, чем событие «выпала четвёрка». И последнее – более абстрактно по отношению к конкретному элементарному исходу конкретного броска (одного из многих), при котором выпало «четыре». И сразу же обратим своё внимание снова к конвертам.
Вполне очевидно, что абстрактное событие «удвоение суммы» как подмножество содержит в себе множество более конкретных событий-подмножеств «удвоение суммы x1», «удвоение суммы x2», «удвоение суммы x3» и т.д. Как «содержательное» событие оно принадлежит всем последним на правах признака (и при «удвоение суммы x1», и при «удвоение суммы x2» - всё равно «сумма удваивается»). Но даже при таких тесных отношениях некоторые вероятности, характеризующие эти события, в корне различаются.
Совершенно правы те, кто настаивает на неправомерности утверждения о том, что с открытием одного из конвертов «вероятности изменились». Сами вероятности не могут меняться от того, что мы что-то узнали. Меняется только наша осведомлённость. И как была вероятность ½ полной вероятностью события «удвоение суммы», так она таковой и осталась. Но можно ли её использовать при вычислении мат. ожидания с учётом конкретного значения суммы 2xi , если к самому событию «удвоение суммы xi» эта вероятность не имеет никакого отношения? Ведь вычисление математического ожидания – это взвешенное усреднение значений случайной величины X, при котором «взвешивание» осуществляется путём умножения каждого её конкретного значения на его же собственную вероятность. А не на вероятность какого-либо более абстрактного события.
Конкретное событие - «удвоение суммы xi» - входит, правда, и в более абстрактное - «во втором конверте 2xi» (включающее в себя и второе конкретное событие – «уменьшение вдвое суммы 4xi»). Полная вероятность этого события («во втором конверте 2xi») вполне может использоваться при вычислениях мат. ожиданий с учётом конкретного значения суммы xi . Но эта полная вероятность более абстрактного события тоже не имеет уже ничего общего с полной вероятностью абстрактного события «удвоение суммы». Причём эти два абстрактных события уже даже не содержат одно другое, они просто пересекаются в тех случаях, когда сумма 2xi оказывается во втором конверте в результате «удвоения».
Вот, собственно, и вся «прореха» :).
