суббота, 23 октября 2010 г.

Парадокс двух конвертов и среднее матожидание

В случае двух конвертов мы имеем факт реализации первого выбора игрока, условные вероятности [удачного/неудачного обмена] по исходам которого нам изначально известны ([0 и 1] или [1 и 0]), но не известно, какая из пар "вступила" в свои права.
Мы можем найти вероятность удачного/неудачного обмена по формуле полной вероятности
1*1/2 + 0*1/2 = 1/2
Это как раз та самая 1/2 из парадоксального рассуждения. Это именно полная вероятность удачного обмена, а не фифти/фифти блондинки из анекдота. Однако, использование этой полной вероятности при вычислении мат. ожидания выигрыша и приводит к противоречию.
Для того, чтобы понять причину происходящего, необходимо, прежде всего, разобраться в проблеме уровней детализации возможности события.
Полная вероятность события - это вероятность более грубого (и, соответственно, более усреднённого) уровня детализации, нежели уровень любых условных вероятностей. А в данном случае именно на конкретном уровне условных вероятностей мы имеем очевидную информационную связь между вероятностями и размером суммы (бОльшие суммы мы успешно обмениваем с вероятностью ноль, меньшие - с вероятностью единица).
Именно эта взаимозависимость сомножителей из формулы мат. ожидания и приводит к ошибке при использовании при вычислениях полной вероятности.
Итак, в данном случае мы не можем строго вычислить мат. ожидание, зная лишь полную вероятность удачного обмена. Но ничто не мешает нам определить среднее матожидание на уровне условных вероятностей для всей выборки усреднения условных вероятносте доходности обмена при вычислении полных вероятностей.
Причём правильнее вычислять среднее мат. ожидание прибыльности обмена, сразу закладывая в рассчёты и цену игры, то есть ту сумму из первого конверта, от которой игрок вынужден отказываться ради возможности забрать сумму из другого конверта.
Вероятность 1/2 получить при обмене 1/2*X выводится с помощью формулы полной вероятности так:
p(1/2*X) = 0*1/2 + 1*1/2 ,
где 0 и 1 - условные вероятности по двум результатам первого выбора игрока в розыгрыше с парой сумм [1/2*X;X] . Вероятность 1/2 получить при обмене 2X соответственно так же:
p(2X) = 0*1/2 + 1*1/2 ,
где 0 и 1 - условные вероятности по двум результатам первого выбора игрока в розыгрыше с парой сумм [X;2X] .
И поскольку, как мы увидели,  при наличии суммы X в одном из конвертов полные вероятности 1/2 и 1/2 обмена её на 1/2*X и 2X являются усреднениями четырёх условных вероятностей из двух возможных игр с парами сумм [1/2*X;X] и [X;2X] и, соответственно, четырёх ситуаций "после первого выбора", мы должны вычислить все четыре условные мат. ожидания прибыльности обмена.
МО1 = 1* (X - 1/2*X)
МО2 = 1* (1/2*X - X)
МО3 = 1* (X - 2X)
МО4 = 1* (2X - X)
После этого вычислим среднее мат. ожидание прибыльности обмена для всей выборки усреднения условных вероятностей при получении полной вероятности:
МО[1-4] = [(X - 1/2*X) + (1/2*X - X) + (X - 2X) + (2X - X)]/4 = 0
Итак, среднее матожидание прибыльности обмена на выборке усреднения условных вероятностей равно нулю, что вполне соответствует интуитивным выводам из симметрии рассматриваемой ситуации.
Следует также отметить, что использование при вычислении мат. ожидания [доходности обмена условной вероятности] по размеру суммы (по конкретному X) также является работой с элементами более грубого уровня детализации по сравнению с уровнем условных вероятностей по итогам первого выбора и, соответственно, также способно приводить к противоречиям (см. Хитрые конверты).

среда, 20 октября 2010 г.

Уровни детализации возможности наступления события


Полная вероятность события A всегда принадлежит более грубому уровню детализации ВОЗМОЖНОСТИ этого события, нежели любая из его условных вероятностей.



Как известно, возможность наступления события A характеризуется его ВЕРОЯТНОСТЬЮ. ВОЗМОЖНОСТЬ эта способна иметь множество УРОВНЕЙ ДЕТАЛИЗАЦИИ.

Полная вероятность события A является взвешенной суммой условных вероятностей по любой полной группе попарно несовместных условий события A [B,C,D,E и т.д.]. Вместе с тем, таких полных групп условий для одного и того же A может быть несколько. Пусть второй такой полной группой для нас будет [X,Y,Z,Q и т.д.].

Очевидно, что требование попарной несовместности на элементы разных групп не распространяется. Если группы условий [B,C,D,E и т.д.] и [X,Y,Z,Q и т.д.] не тождественны, то в одном из них наверняка можно найти хотябы одну пару событий, равносовместных с каким-нибудь элементом другой группы. Пусть это будут X и Y, равносовместные с B. В этом случае саму условную вероятность p(A/B) можно развернуть по формуле полной вероятности в:


p(A/B) = p(BX)*p(A/BX) + p(BY)*p(A/BY)


и получить тем самым элемент нового, более точного и конкретного по сравнению с [B,C,D,E и т.д.] уровеня детализации ВОЗМОЖНОСТИ события A.

Очевидно, что при известной p(A/BX) и при знании о том, что условие BX реализовано, бессмысленно оперировать вероятностью p(A/B). Иными словами - знание более точной вероятности очевидно "отменяет" более грубую (усреднённую).

Теперь вполне очевидно, также, что ВОЗМОЖНОСТЬ всякого события может иметь множество уровней детализации. По добровольному согласию сторон вероятности любого из этих уровней могут быть признаны "объективными", тоесть не допускающими дальнейшего членения на наборы более точных условных вероятностей по более частным условиям (как, например, чисто конвенциональна "объективность" вероятности выпадения орла монетки, поскольку все согласны не учитывать специфику траектории её падения на стол, частоту вращения в воздухе, упругость поверхности и т.п.).

воскресенье, 10 октября 2010 г.

Парадокс двух конвертов и основания теории вероятностей


Уже вынесен окончательный Вердикт по "двум конвертам"


Парадокс двух конвертов играет с самими основаниями теории вероятностей, наглядно демонстрируя опаснонсть использования усреднённых (частотных) вероятностей при вычислении матожиданий случайных величин.


Если кто-то ещё не сталкивался, условие и различные подходы решения здесь:
http://burykind.blogspot.com/2010/09/blog-post.html


Сразу после совершения игроком выбора одного из конвертов вероятности удачно/неудачно обменять конверт принимают значения нуля и единицы (ведь оставшийся конверт только один - ЛИБО больший, ЛИБО меньший). В каком порядке - 0 и 1, или 1 и 0 - мы не знаем, но наше НЕзнание объективных (в смысле априорных) вероятностей их не отменяет, также как не отменяет и объективную СВЯЗЬ этих вероятностей с размером получаемой суммы, заложенную в самом условии задачи (нулевые вероятности удачного обмена для вдвое больших сумм, и единичные для вдвое меньших).
Любые другие вероятности удачного/неудачного обмена, которые рассматриваются в парадоксальном рассуждении (1/2 и 1/2) и в различных попытках решения, - суть не что иное, как разнообразные усреднения исходных (априорных) нулей и единиц. 1/2 и 1/2 из парадоксального рассуждения - это усреднение априорных нуля и единицы для одного розыгрыша в целом по двум равновероятным выборам игрока, условная вероятность по размеру конкретной суммы из наиболее популярной в сети попытки решения - усреднение априорных нулей и единиц по всем возможным выборам игрока во всех возможных розыгрышах, при которых в конверте оказывается данная сумма.
И в обоих случаях постольку, поскольку наличествует СВЯЗЬ между размером суммы и вероятностью её удачного обмена (бОльшая вероятность для мЕньших сумм и мЕньшая для бОльших), постольку же и вычисление матожидания с использыванием этих усреднённых вероятностей - бессмыслица. Именно это использование усреднённых вероятностей при наличии информационной связи между различными значениями случайной величины и априорными вероятностями этих значений и приводит к парадоксу!
Таким образом парадокс двух конвертов играет с самими основаниями теории вероятностей, наглядно демонстрируя опаснонсть использования усреднённых (частотных) вероятностей при вычислении матожидания случайных величин. При таком использовании должна явно формулироваться хотябы гипотеза отсутствия информационной связи между значениями величины и самими их вероятностями.

суббота, 9 октября 2010 г.

Отличная модификация парадокса двух конвертов


Уже вынесен окончательный Вердикт по "двум конвертам"


Только что обнаружил интереснейшее сообщение Ильи Весеннего на тему конвертов, опубликованное им ещё в июне этого года.
http://my-tribune.blogspot.com/2010/06/blog-post.html
Он обнаружил такую модификацию задачи, которая полностью удовлетворяет расхожему требованию "математически корректного" распределения сумм по конвертам и при этом сохраняет всю поноту парадоксальности. Поздравляю Илью!!!

понедельник, 4 октября 2010 г.

Тривиальность истины как преграда к её осознанию


Уже вынесен окончательный Вердикт по "двум конвертам"


Без нетривиальных вычислений гений истиного математика начинает ржаветь и становится источником боли и раздражения. В случае двух конвертов это обстоятельство оказывается роковым. При правильной идентификации тех условных вероятностей, которые получают статус априорных на момент второго рассуждения из парадокса, выясняется, что корректно вычислять уже практически нечего. И начинается бунт высокоточного инструмента против примитивного способа применения (королевская печать попросту отказывается колоть орехи).

Чтобы помочь настоящим (вдохновенным) математикам смириться с истинностью тривиального решения задачи, постараемся построить ещё одну задачку, хоть и аналогичную первой, но не столь простую в той части, которая так неприятна любителям вычислений. Сразу оговоримся: усложнение условия вынужденное, взятое отнюдь не наобум, поэтому стоит потратить время и силы на его осмысление.

Как уже отмечалось, самое неприятное в конвертах то, что "правильные" условные вероятности на момент рассуждений принимают значения нуля и единицы. Поэтому в аналогичной задачке ценой увеличения числа предлагаемых игроку конвертов и способов их замены постараемся хотябы некоторые из этих условных вероятностей изменить, но сохранить при этом частотные вероятности успешности/неуспешности обмена по-прежнему равными 1/2 и 1/2.

Пусть игроку одновременно предлагается не два, а десять конвертов. При этом, только в четырёх из них денежная сумма равна N, а в два раза большая сумма - 2N - находится сразу в шести. Если игрок выбирает и принимает решение "обменять" тот из конвертов, в котором N, ему без разговоров выдают вдвое большую сумму. А если игрок выбирает и принимает решение "обменять" тот из конвертов, в котором 2N, устроители игры бросают игральную кость и в случае выпадения шестёрки "ошибившегося" игрока прощают, во всех же остальных случаях вместо своих 2N игрок плучает только N.

Несложно видеть, что частотная вероятность получить при обмене большую/меньшую сумму остаётся 50/50. В среднем в пяти случаях из десяти сумма будет равна N, в пяти - 2N. Соответственно, в силе должно оставаться и рассуждение о среднем выигрыше. Но так же несложно видеть и заведомую проигрышность стратегии тотального обмена. И самое главное - при вычислении частотной вероятности мы уже явно должны использовать условные вероятности по выбору того или иного типа конверта!