Строгое топологическое опровержение "биекции" чётных и натуральных

В рамках натурального ряда отношения предыдущее-последующее можно смело интерпретировать как отношение смежности. Можно также принять открытым любой интервал типа [0, n] (если кому-то так привычнее). И в том, и в другом случае натуральный ряд окажется одномерным связным целым N.
Рассмотрим теперь объединения пар типа (n, 2n), или тела семейств этих пар с точки зрения их топологических свойств в N. Какое бы семейство от первой пары до i-той мы ни взяли, определённо можно утверждать, что его тело P несвязно. Для доказательства последнего достаточно рассмотреть чётный элемент i-той (последней) пары семейства, который явно ещё не имеет смежного элемента в P : ни элемент 2i-1, ни элемент 2i+1 в P не входят. И никакое, даже бесконечное добавление новых пар по данному алгоритму "биекции" ситуации не изменит - P всегда будет оставаться несвязным.
Между тем тело семейства всех пар полной биекции чётных и натуральных очевидно должно было бы быть связным (весь натуральный ряд). Таким образом, используя общеизвестный алгоритм нумерации элементов подмножества чётных чисел, требуемого взаимно-однозначного соответствия мы никогда не достигнем!
Данное доказательство лишний раз указывает на то, что вряд ли можно считать корректным рассмотрение бесконечного множества, и тем более - бесконечного подмножества в отрыве от операции его построения и от того порядка на множестве, который эта процедура использует. Так и подмножество всех чётных, будучи вырвано из естественного порядка натурального ряда, по сути просто превращается из подмножества в тот же самый натуральный ряд, что и даёт возможность для ошибочных построений. 

Об одном изъяне канторовской биекции

Хотелось бы упомянуть и ещё одно выяснившееся в прошлых обсуждениях [1] [2] [3] любопытное обстоятельство.

При всех «парадоксальных» Канторовских биекциях между множествами и их подмножествами имеет место некоторый не очень заметный, но неизбежный процесс: дистанция (разность) между элементами составляемых пар сама неумолимо стремится в бесконечность. Рассмотрим, например, такое простое «биективное» отображение, как сопоставление всех натуральных чисел и всех чётных.
1 – 2 (1)
2 – 4 (2)
3 – 6 (3)
4 – 8 (4)
…
В скобках мы записали разности между элементами пар.
Отсюда очевидно, что на каком бы этапе построения нашей «биекции» мы бы ни остановились, последний образ (чётное число) всегда будет извлечён из значительно более удалённой области натурального ряда, чем прообраз (натуральное). Не напоминает ли это бесконечное откладывание признания факта несопоставимости множества и подмножества в некий трансфинитный долгий ящик?
А ведь при этом существует интуитивно вполне приемлемое отображение каждого чётного числа на двойку натуральных чисел, элементы пар которого не разбегаются по бесконечности как тараканы по грязному столу:
{0;1} – 0 
{2;3} – 2 
{4;5} – 4 
{6;7} – 6 
…
На каком этапе построения нашей биекции мы бы ни остановились, весь интервал, пройденный аргументом (прообразом, чётным элементом) будет строго эквивалентен интервалу, пройденному значением (образом, натуральными двойками). Сказанное справедливо и для любого произвольного интервала из «середины» упорядоченного натурального ряда.
Неужели крайне существенная разница не очевидна???
Здесь, правда, возможно одно возражение: а причём тут вообще натуральный (естественный) порядок? Ведь мы сопоставляем только элементы, а не их взаиморасположение при той или иной форме упорядоченности. Но стоит вспомнить о том, что не только строить биекции бесконечных множеств без той или иной формы упорядочения, но даже и выделять бесконечные подмножества из бесконечного множества без конкретной упорядоченности невозможно, и возражение это сразу снимается.
Для любого бесконечного подмножества обязательно существует та форма упорядоченности материнского множества, единственно посредством которой оно (это подмножество) и было выделено из множества. То есть та или иная единственная форма порядка материнского множества всегда первична по отношению к бесконечному подмножеству. Для подмножества всех чётных чисел это натуральный (естественный) порядок натурального ряда. И эксклюзивно-корректные отношения нашего отображения «чётное – двойка натуральных» с этим естественным порядком натурального ряда ставят наше отображение в исключительную позицию (по сравнению со всевозможными «биекциями»).
А поскольку наше особенное отображение – не биекция, а отображение «один в два», то и о соответствующих кардиналах (мощностях) можно было бы сказать, что их отношение всё-таки составляет 1 : 2…
Заметим, что два бесконечных множества подобным же образом сопоставлены быть не могут. Но если они когда-либо кем-либо были выделены посредством той или иной формы упорядоченности как два подмножества некоего общего для обоих материнского множества, то почему бы и нет?

Насколько незыблема теория множеств?

Насколько мне известно, Кантор использовал свой диагональный процесс при доказательстве теоремы о неравенстве мощностей множества X и множества всех отображений множества X на множество Y (содержащее не менее двух элементов) [П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука,1977,С.30-31]. И ничто в этой теореме не претит моей интуиции. Но распространённое "диагональное" и "изящное" доказательство несчётности действительных чисел [В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. М., Проспект, 2006. , Т. 1., С.74] продолжает возмущать мой неокрепший разум. Вообще говоря, у меня нет никаких оснований верить тому, что доказательство это принадлежит самому Кантору. В этом случае интересно, откуда оно вообще взялось?
Предыдущие два обсуждения [1] [2] помогли обнаружить существенное различие между упомянутыми двумя, внешне и впрямь очень похожими доказательствами.
В отличие от доказательства для действительных чисел, в Канторовском доказательстве от противного теоремы об отображениях нет посылки актуальной отображённости одного бесконечного множества на другое. Его доказательство начинается так:
Предположим, что такое соответствие существует...
И далее следует выяснение необходимых для данного случая атрибутов классического алгоритма биекции между двумя бесконечными множествами, который можно было бы выполнять сколь угодно долго и который был бы явно не ограничен ни в одном из двух множеств каким-либо более "узким" подмножеством. И именно невозможность построения такого алгоритма при заданных условиях далее доказывается при помощи диагонального
процесса! Заметим, что данное доказательство работает и для случая конечных множеств.
А в обсуждавшемся ранее доказательстве опровергается, по сути, не возможность построения алгоритма биекции, а лишь (именно) возможность актуальной данности, завершённости биективного сопоставления двух множеств (натуральных и действительных чисел).
Существуют, безусловно, и другие, более основательные доказательства несчётности континуума. О них здесь речь не идёт. Но есть основания предположить, что данная подмена (неявное перемешивание конструктивного и актуального), вообще говоря, является типичной для нынешнего уровня развития теории множеств. Даже сам логический переход от возможности построения не ограниченного подмножествами алгоритма составления пар (конструктивная процедура) к актуальной эквивалентности (трактуемой даже как количественная эквивалентность!!!) двух бесконечных множеств (и даже множества и его подмножества!!!) - не что иное, как пример такой же подмены. И автор такой подмены - уже именно Георг Кантор, собственной персоной.

Доказательство несчётности натурального ряда :)

Чтобы прочувствовать всё обаяние Канторовского диагонального процесса, предлагаю рассмотреть доказательство несчётности натурального ряда, построенное по аналогии с растирражированным разными учебниками доказательством несчётности континуума:
Пусть все натуральные числа уже перенумерованы, причём десятичная запись любого из них кончается бесконечной чередой пробелов (тоесть пробел - ещё одна цифра). Теперь построим натуральное число D, которое мы не пронумеровали. Для этого выберем первую цифру, не совпадающую с первой цифрой первого числа, вторую - несовпадающую со второй цифрой второго числа, третью - не совпадающую с третьей цифрой третьего и т.п. Вместо пробела смело будем ставить любую "содержательную" цифру. Очевидно, что числа, которое мы запишем, нет в нашем списке. Значит натуральные числа не могли быть перенумерованы. Значит - их несчётно много!!!)))))
Это шуточное доказательство оказалось бы вовсе не смешным, если бы "число D", получаемое в результате нашего построения, не имело бы бесконечной записи, тоесть действительно являлось бы числом. Хотя, трудно представить себе, как факт наличия актуально перенумированного "списка" бесконечности натуральных чисел согласуется с отсутствием в этом списке хотябы одного подобного числа с бесконечной разрядностью (ведь все разряды, которые есть в списке, содержатся с первого и до... хотябы в одном числе). Но, судя по всему - да, безупречных аргументов на этом направлении нет. Бесконечность нашей записи слишком весома.
Однако эта шуточная пародия позволяет прочувствовать одну специфическую особенность приложения диагонального процесса Кантора к множествам чисел в их десятичной, и даже двоичной записит (насколько я понимаю, сам Кантор свой процесс применял лишь в доказательстве большей мощности множества всех отображений X на Y относительно мощности множества X).
Хоть процесс и называется диагональным, "точка несоответствия" (или разряд несоответствия) строящегося числа с другими числами убегает в бесконечность гораздо быстрее, чем растёт номер "отсекаемого" диагональным алгоритмом числа. Номера растут линейно, а "удалённость" несоответствия - геометрически (10 в степени N для десятичной записи). И только "соизмеримость" бесконечностей позволяет этому оптическому обману не выглядеть миражом. Подобным образом бессмертные боги могут все неразрешимые проблемы откладывать "на
последний день" - ведь для них последний день никогда не наступит. Однако, это уже (или пока ещё) - не математика :).
Но предлагаю "разгромить" и ещё одну попытку аналогии. Кантор, как известно, перенумеровал все рациональные числа при помощи суммирования числителя и знаменателя. И тут его вполне удовлетворил конструктивный алгоритм "заметания" рациональной бесконечности. Давайте поищем подвох в аналогичном алгоритме для бесконечных десятичных дробей интервала (0;1).
Возьмём сначала наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна единице. Это, разумеется, 0,10000... Потом следующую поменьше: 0,01000... Потом следующую... И т.д. Получим счётное множество.
Теперь возьмём наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна двум. Это 0,20000... Потом 0,11000..., потом 0,02000..., потом 0,0110000... И т.д. Получим второе счётное множество. Потом построим третье счётное множество {0,3000...; 0,21000...; 0,111000...; 0,03000... и т.д.} И так до счётной бесконечности.
На выходе имеем счётное множество счётных множеств. А их объединение, как известно, счётно!