В рамках натурального ряда отношения предыдущее-последующее можно смело интерпретировать как отношение смежности. Можно также принять открытым любой интервал типа [0, n] (если кому-то так привычнее). И в том, и в другом случае натуральный ряд окажется одномерным связным целым N.
Рассмотрим теперь объединения пар типа (n, 2n), или тела семейств этих пар с точки зрения их топологических свойств в N. Какое бы семейство от первой пары до i-той мы ни взяли, определённо можно утверждать, что его тело P несвязно. Для доказательства последнего достаточно рассмотреть чётный элемент i-той (последней) пары семейства, который явно ещё не имеет смежного элемента в P : ни элемент 2i-1, ни элемент 2i+1 в P не входят. И никакое, даже бесконечное добавление новых пар по данному алгоритму "биекции" ситуации не изменит - P всегда будет оставаться несвязным.
Между тем тело семейства всех пар полной биекции чётных и натуральных очевидно должно было бы быть связным (весь натуральный ряд). Таким образом, используя общеизвестный алгоритм нумерации элементов подмножества чётных чисел, требуемого взаимно-однозначного соответствия мы никогда не достигнем!
Данное доказательство лишний раз указывает на то, что вряд ли можно считать корректным рассмотрение бесконечного множества, и тем более - бесконечного подмножества в отрыве от операции его построения и от того порядка на множестве, который эта процедура использует. Так и подмножество всех чётных, будучи вырвано из естественного порядка натурального ряда, по сути просто превращается из подмножества в тот же самый натуральный ряд, что и даёт возможность для ошибочных построений.
Рассмотрим теперь объединения пар типа (n, 2n), или тела семейств этих пар с точки зрения их топологических свойств в N. Какое бы семейство от первой пары до i-той мы ни взяли, определённо можно утверждать, что его тело P несвязно. Для доказательства последнего достаточно рассмотреть чётный элемент i-той (последней) пары семейства, который явно ещё не имеет смежного элемента в P : ни элемент 2i-1, ни элемент 2i+1 в P не входят. И никакое, даже бесконечное добавление новых пар по данному алгоритму "биекции" ситуации не изменит - P всегда будет оставаться несвязным.
Между тем тело семейства всех пар полной биекции чётных и натуральных очевидно должно было бы быть связным (весь натуральный ряд). Таким образом, используя общеизвестный алгоритм нумерации элементов подмножества чётных чисел, требуемого взаимно-однозначного соответствия мы никогда не достигнем!
Данное доказательство лишний раз указывает на то, что вряд ли можно считать корректным рассмотрение бесконечного множества, и тем более - бесконечного подмножества в отрыве от операции его построения и от того порядка на множестве, который эта процедура использует. Так и подмножество всех чётных, будучи вырвано из естественного порядка натурального ряда, по сути просто превращается из подмножества в тот же самый натуральный ряд, что и даёт возможность для ошибочных построений.
Комментариев нет:
Отправить комментарий