Чтобы прочувствовать всё обаяние Канторовского диагонального процесса, предлагаю рассмотреть доказательство несчётности натурального ряда, построенное по аналогии с растирражированным разными учебниками доказательством несчётности континуума:
Пусть все натуральные числа уже перенумерованы, причём десятичная запись любого из них кончается бесконечной чередой пробелов (тоесть пробел - ещё одна цифра). Теперь построим натуральное число D, которое мы не пронумеровали. Для этого выберем первую цифру, не совпадающую с первой цифрой первого числа, вторую - несовпадающую со второй цифрой второго числа, третью - не совпадающую с третьей цифрой третьего и т.п. Вместо пробела смело будем ставить любую "содержательную" цифру. Очевидно, что числа, которое мы запишем, нет в нашем списке. Значит натуральные числа не могли быть перенумерованы. Значит - их несчётно много!!!)))))
Это шуточное доказательство оказалось бы вовсе не смешным, если бы "число D", получаемое в результате нашего построения, не имело бы бесконечной записи, тоесть действительно являлось бы числом. Хотя, трудно представить себе, как факт наличия актуально перенумированного "списка" бесконечности натуральных чисел согласуется с отсутствием в этом списке хотябы одного подобного числа с бесконечной разрядностью (ведь все разряды, которые есть в списке, содержатся с первого и до... хотябы в одном числе). Но, судя по всему - да, безупречных аргументов на этом направлении нет. Бесконечность нашей записи слишком весома.
Однако эта шуточная пародия позволяет прочувствовать одну специфическую особенность приложения диагонального процесса Кантора к множествам чисел в их десятичной, и даже двоичной записит (насколько я понимаю, сам Кантор свой процесс применял лишь в доказательстве большей мощности множества всех отображений X на Y относительно мощности множества X).
Хоть процесс и называется диагональным, "точка несоответствия" (или разряд несоответствия) строящегося числа с другими числами убегает в бесконечность гораздо быстрее, чем растёт номер "отсекаемого" диагональным алгоритмом числа. Номера растут линейно, а "удалённость" несоответствия - геометрически (10 в степени N для десятичной записи). И только "соизмеримость" бесконечностей позволяет этому оптическому обману не выглядеть миражом. Подобным образом бессмертные боги могут все неразрешимые проблемы откладывать "на
последний день" - ведь для них последний день никогда не наступит. Однако, это уже (или пока ещё) - не математика :).
Но предлагаю "разгромить" и ещё одну попытку аналогии. Кантор, как известно, перенумеровал все рациональные числа при помощи суммирования числителя и знаменателя. И тут его вполне удовлетворил конструктивный алгоритм "заметания" рациональной бесконечности. Давайте поищем подвох в аналогичном алгоритме для бесконечных десятичных дробей интервала (0;1).
Возьмём сначала наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна единице. Это, разумеется, 0,10000... Потом следующую поменьше: 0,01000... Потом следующую... И т.д. Получим счётное множество.
Теперь возьмём наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна двум. Это 0,20000... Потом 0,11000..., потом 0,02000..., потом 0,0110000... И т.д. Получим второе счётное множество. Потом построим третье счётное множество {0,3000...; 0,21000...; 0,111000...; 0,03000... и т.д.} И так до счётной бесконечности.
На выходе имеем счётное множество счётных множеств. А их объединение, как известно, счётно!
Пусть все натуральные числа уже перенумерованы, причём десятичная запись любого из них кончается бесконечной чередой пробелов (тоесть пробел - ещё одна цифра). Теперь построим натуральное число D, которое мы не пронумеровали. Для этого выберем первую цифру, не совпадающую с первой цифрой первого числа, вторую - несовпадающую со второй цифрой второго числа, третью - не совпадающую с третьей цифрой третьего и т.п. Вместо пробела смело будем ставить любую "содержательную" цифру. Очевидно, что числа, которое мы запишем, нет в нашем списке. Значит натуральные числа не могли быть перенумерованы. Значит - их несчётно много!!!)))))
Это шуточное доказательство оказалось бы вовсе не смешным, если бы "число D", получаемое в результате нашего построения, не имело бы бесконечной записи, тоесть действительно являлось бы числом. Хотя, трудно представить себе, как факт наличия актуально перенумированного "списка" бесконечности натуральных чисел согласуется с отсутствием в этом списке хотябы одного подобного числа с бесконечной разрядностью (ведь все разряды, которые есть в списке, содержатся с первого и до... хотябы в одном числе). Но, судя по всему - да, безупречных аргументов на этом направлении нет. Бесконечность нашей записи слишком весома.
Однако эта шуточная пародия позволяет прочувствовать одну специфическую особенность приложения диагонального процесса Кантора к множествам чисел в их десятичной, и даже двоичной записит (насколько я понимаю, сам Кантор свой процесс применял лишь в доказательстве большей мощности множества всех отображений X на Y относительно мощности множества X).
Хоть процесс и называется диагональным, "точка несоответствия" (или разряд несоответствия) строящегося числа с другими числами убегает в бесконечность гораздо быстрее, чем растёт номер "отсекаемого" диагональным алгоритмом числа. Номера растут линейно, а "удалённость" несоответствия - геометрически (10 в степени N для десятичной записи). И только "соизмеримость" бесконечностей позволяет этому оптическому обману не выглядеть миражом. Подобным образом бессмертные боги могут все неразрешимые проблемы откладывать "на
последний день" - ведь для них последний день никогда не наступит. Однако, это уже (или пока ещё) - не математика :).
Но предлагаю "разгромить" и ещё одну попытку аналогии. Кантор, как известно, перенумеровал все рациональные числа при помощи суммирования числителя и знаменателя. И тут его вполне удовлетворил конструктивный алгоритм "заметания" рациональной бесконечности. Давайте поищем подвох в аналогичном алгоритме для бесконечных десятичных дробей интервала (0;1).
Возьмём сначала наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна единице. Это, разумеется, 0,10000... Потом следующую поменьше: 0,01000... Потом следующую... И т.д. Получим счётное множество.
Теперь возьмём наибольшую из дробей, сумма цифр которых равна двум. Это 0,20000... Потом 0,11000..., потом 0,02000..., потом 0,0110000... И т.д. Получим второе счётное множество. Потом построим третье счётное множество {0,3000...; 0,21000...; 0,111000...; 0,03000... и т.д.} И так до счётной бесконечности.
На выходе имеем счётное множество счётных множеств. А их объединение, как известно, счётно!
Комментариев нет:
Отправить комментарий