Насколько мне известно, Кантор использовал свой диагональный процесс при доказательстве теоремы о неравенстве мощностей множества X и множества всех отображений множества X на множество Y (содержащее не менее двух элементов) [П. С. Александров. Введение в теорию множеств и общую топологию. М., Наука,1977,С.30-31]. И ничто в этой теореме не претит моей интуиции. Но распространённое "диагональное" и "изящное" доказательство несчётности действительных чисел [В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. Х. Сендов. Математический анализ. М., Проспект, 2006. , Т. 1., С.74] продолжает возмущать мой неокрепший разум. Вообще говоря, у меня нет никаких оснований верить тому, что доказательство это принадлежит самому Кантору. В этом случае интересно, откуда оно вообще взялось?
Предыдущие два обсуждения [1] [2] помогли обнаружить существенное различие между упомянутыми двумя, внешне и впрямь очень похожими доказательствами.
В отличие от доказательства для действительных чисел, в Канторовском доказательстве от противного теоремы об отображениях нет посылки актуальной отображённости одного бесконечного множества на другое. Его доказательство начинается так:
Предположим, что такое соответствие существует...
И далее следует выяснение необходимых для данного случая атрибутов классического алгоритма биекции между двумя бесконечными множествами, который можно было бы выполнять сколь угодно долго и который был бы явно не ограничен ни в одном из двух множеств каким-либо более "узким" подмножеством. И именно невозможность построения такого алгоритма при заданных условиях далее доказывается при помощи диагонального
процесса! Заметим, что данное доказательство работает и для случая конечных множеств.
А в обсуждавшемся ранее доказательстве опровергается, по сути, не возможность построения алгоритма биекции, а лишь (именно) возможность актуальной данности, завершённости биективного сопоставления двух множеств (натуральных и действительных чисел).
Существуют, безусловно, и другие, более основательные доказательства несчётности континуума. О них здесь речь не идёт. Но есть основания предположить, что данная подмена (неявное перемешивание конструктивного и актуального), вообще говоря, является типичной для нынешнего уровня развития теории множеств. Даже сам логический переход от возможности построения не ограниченного подмножествами алгоритма составления пар (конструктивная процедура) к актуальной эквивалентности (трактуемой даже как количественная эквивалентность!!!) двух бесконечных множеств (и даже множества и его подмножества!!!) - не что иное, как пример такой же подмены. И автор такой подмены - уже именно Георг Кантор, собственной персоной.
Предыдущие два обсуждения [1] [2] помогли обнаружить существенное различие между упомянутыми двумя, внешне и впрямь очень похожими доказательствами.
В отличие от доказательства для действительных чисел, в Канторовском доказательстве от противного теоремы об отображениях нет посылки актуальной отображённости одного бесконечного множества на другое. Его доказательство начинается так:
Предположим, что такое соответствие существует...
И далее следует выяснение необходимых для данного случая атрибутов классического алгоритма биекции между двумя бесконечными множествами, который можно было бы выполнять сколь угодно долго и который был бы явно не ограничен ни в одном из двух множеств каким-либо более "узким" подмножеством. И именно невозможность построения такого алгоритма при заданных условиях далее доказывается при помощи диагонального
процесса! Заметим, что данное доказательство работает и для случая конечных множеств.
А в обсуждавшемся ранее доказательстве опровергается, по сути, не возможность построения алгоритма биекции, а лишь (именно) возможность актуальной данности, завершённости биективного сопоставления двух множеств (натуральных и действительных чисел).
Существуют, безусловно, и другие, более основательные доказательства несчётности континуума. О них здесь речь не идёт. Но есть основания предположить, что данная подмена (неявное перемешивание конструктивного и актуального), вообще говоря, является типичной для нынешнего уровня развития теории множеств. Даже сам логический переход от возможности построения не ограниченного подмножествами алгоритма составления пар (конструктивная процедура) к актуальной эквивалентности (трактуемой даже как количественная эквивалентность!!!) двух бесконечных множеств (и даже множества и его подмножества!!!) - не что иное, как пример такой же подмены. И автор такой подмены - уже именно Георг Кантор, собственной персоной.
Комментариев нет:
Отправить комментарий