Строгое топологическое опровержение "биекции" чётных и натуральных

В рамках натурального ряда отношения предыдущее-последующее можно смело интерпретировать как отношение смежности. Можно также принять открытым любой интервал типа [0, n] (если кому-то так привычнее). И в том, и в другом случае натуральный ряд окажется одномерным связным целым N.
Рассмотрим теперь объединения пар типа (n, 2n), или тела семейств этих пар с точки зрения их топологических свойств в N. Какое бы семейство от первой пары до i-той мы ни взяли, определённо можно утверждать, что его тело P несвязно. Для доказательства последнего достаточно рассмотреть чётный элемент i-той (последней) пары семейства, который явно ещё не имеет смежного элемента в P : ни элемент 2i-1, ни элемент 2i+1 в P не входят. И никакое, даже бесконечное добавление новых пар по данному алгоритму "биекции" ситуации не изменит - P всегда будет оставаться несвязным.
Между тем тело семейства всех пар полной биекции чётных и натуральных очевидно должно было бы быть связным (весь натуральный ряд). Таким образом, используя общеизвестный алгоритм нумерации элементов подмножества чётных чисел, требуемого взаимно-однозначного соответствия мы никогда не достигнем!
Данное доказательство лишний раз указывает на то, что вряд ли можно считать корректным рассмотрение бесконечного множества, и тем более - бесконечного подмножества в отрыве от операции его построения и от того порядка на множестве, который эта процедура использует. Так и подмножество всех чётных, будучи вырвано из естественного порядка натурального ряда, по сути просто превращается из подмножества в тот же самый натуральный ряд, что и даёт возможность для ошибочных построений. 

Объективность информации, синкретический мир и дискретные модели

Разговор о возможности объективного существования информации, как Шенноновского измеримого отношения между объективными явлениями, даже успешно преодолев «зоны риска», связанные с многозначностью терминов и логическими «ямами», неизбежно упирается в весьма обоснованный тезис о единстве мира. Этот тезис [очень серьёзное философское утверждение о всеобщей взаимосвязи, о тотальной взаимозависимости любой части мира с любой другой] определённо ставит под сомнение саму идею вычленения и количественного сравнения таких связей. И действительно: если любые две взаимосвязанные части мира бесконечно сложны, а, следовательно, и расчленимы на бесконечное число взаимосвязанных частей, то о каком конечном количестве связи между этими частями может идти речь? Сравнивать же бесконечности – занятие сугубо неблагодарное.

Философия, таким образом, отрицает самый фундамент математической теории связи, отвергая её «краегольный камень» - элементарную связь двух элементарных явлений.

Вообще, традиция построения формализованных объектов (в том числе и каналов связи Шеннона) из «элементарных» кирпичиков, издревле укоренившаяся в математике, также издревле мешала содержательной интерпретации возводимых ею  моделей синкретического мира (мира, в котором всё со всем тотально взаимосвязано). В геометрии таким кирпичиком всегда являлась точка, в теории множеств – элемент множества, в теории вероятностей – единичное событие, имеющее свою априорную вероятность и т.п. Даже число, самый, казалось бы, «неэлементарный» инструмент построения любых математических конструкций, некоторые авторы не раз пытались свести к совокупности единиц, «приписанных друг к другу справа» J – всё тех же элементарных кирпичиков.

При том, что вычленение из синкретического мира любых элементов, а также любого обособленного отношения между этими элементами – главный и наиболее смыслообразующий акт субъекта-наблюдателя (включающий в себя и общеизвестное насилие над этим миром), математика пока имеет возможность «появляться» лишь там, где вся метанаучная подготовительная работа уже давно закончена…  Иными словами - большая часть содержательно-интерпретационных усилий оказывается за кадром собственно математического рассуждения.

В нашем случае с информацией такой подход неизбежно приводит к особым противоречиям. Для классического определения Шенноновской связи нам необходимы простые элементы: обособленные явления, дискретные состояния обособленных явлений, вероятности и условные вероятности этих состояний. Но само вычленение этих «элементов», как мы уже отмечали, с одной стороны - продукт некой целенаправленной уже информационной деятельности мыслящего субъекта, с другой – до-математический, мета-научный акт, вступающий в конфликт и с философией, и с логикой, поскольку информация при таком подходе определяется «через самоё себя». Что являет собой безусловно что-то порочное...

Единственным выходом из логического тупика видится применение «синкретических» формализмов, строящихся не в процессе «восходящего» склеивания элементарных кирпичиков, а в процессе «нисходящего» последовательного рассечения единого целого - не вплоть до… а от… первого сечения единого взаимосвязанного мира… до необходимого уровня детализации. На сегодняшний день имеется вполне работоспособный пример такого синкретического формализма – понятийный аппарат синкретической топологии, вполне адекватно описывающей большинство общеизвестных топологических инвариант. При желании на его базе вполне построимо и определение числа (уж всяко ничем не хуже «единиц слева-на-право»), и определение множества, и определение отображения, а вслед за ними – и всех остальных базовых понятий математики. Ничего в самой математике, по сути, не меняя J.

При построении синкретического формализма теории информации объективно существующую связь любой части мира с любой другой действительно можно предполагать как исчерпывающую и бесконечно ёмкую, а, следовательно, - и тождественную любой другой связи между любыми другими частями. Но эти объективные связи, очевидно, будут иметь склонность к принципиальной НЕОДНОРОДНОСТИ на некоторых фиксированных уровнях детализации мира  при определённых фиксированных законах отображения. При некоторых уровнях детализации и законах отображения (из числа доступных наблюдателю), связи эти будут проявлены более или менее СИЛЬНО. В первом приближении именно ПРОЯВЛЕННОСТЬ объективных связей при определённом уровне детализации и определённом законе отображения и будет характеризоваться Шенноновским количеством взаимной информации в соответствующем «канале связи».

И тогда на первый план выйдут вопросы выбора самих сечений мира, самих правил отображения, самих причин возникновения именно существующих границ между искусственно разведёнными частями единой реальности. А это уже очень похоже на вопрос о причинах и закономерностях возникновения понятий.

Уровни детализации возможности наступления события

Полная вероятность события A всегда принадлежит более грубому уровню детализации ВОЗМОЖНОСТИ этого события, нежели любая из его условных вероятностей.


Как известно, возможность наступления события A характеризуется его ВЕРОЯТНОСТЬЮ. ВОЗМОЖНОСТЬ эта способна иметь множество УРОВНЕЙ ДЕТАЛИЗАЦИИ.

Полная вероятность события A является взвешенной суммой условных вероятностей по любой полной группе попарно несовместных условий события A [B,C,D,E и т.д.]. Вместе с тем, таких полных групп условий для одного и того же A может быть несколько. Пусть второй такой полной группой для нас будет [X,Y,Z,Q и т.д.].

Очевидно, что требование попарной несовместности на элементы разных групп не распространяется. Если группы условий [B,C,D,E и т.д.] и [X,Y,Z,Q и т.д.] не тождественны, то в одном из них наверняка можно найти хотябы одну пару событий, равносовместных с каким-нибудь элементом другой группы. Пусть это будут X и Y, равносовместные с B. В этом случае саму условную вероятность p(A/B) можно развернуть по формуле полной вероятности в:


p(A/B) = p(BX)*p(A/BX) + p(BY)*p(A/BY)


и получить тем самым элемент нового, более точного и конкретного по сравнению с [B,C,D,E и т.д.] уровеня детализации ВОЗМОЖНОСТИ события A.

Очевидно, что при известной p(A/BX) и при знании о том, что условие BX реализовано, бессмысленно оперировать вероятностью p(A/B). Иными словами - знание более точной вероятности очевидно "отменяет" более грубую (усреднённую).

Теперь вполне очевидно, также, что ВОЗМОЖНОСТЬ всякого события может иметь множество уровней детализации. По добровольному согласию сторон вероятности любого из этих уровней могут быть признаны "объективными", тоесть не допускающими дальнейшего членения на наборы более точных условных вероятностей по более частным условиям (как, например, чисто конвенциональна "объективность" вероятности выпадения орла монетки, поскольку все согласны не учитывать специфику траектории её падения на стол, частоту вращения в воздухе, упругость поверхности и т.п.).